怎么求函数的单调区间和极值的关系公式_详解函数单调性和极值求法-学习百科

怎么求函数的单调区间和极值的关系公式_详解函数单调性和极值求法

龚汝鑫 • 2023年5月27日 00:12:18 • 百科达人

怎么求函数的单调区间和极值的关系公式(详解函数单调性和极值求法)

在高中数学中，函数单调性和极值是非常重要的概念。学生们在学习函数时，需要掌握如何求函数的单调性和极值，并且需要了解它们之间的关系。本文将详细介绍如何求函数的单调区间和极值的关系公式，帮助学生们更好地掌握这些概念。

一、函数单调性的概念

函数单调性是指函数在定义域内的取值随自变量单调递增或单调递减。具体来说，若函数f(x)在区间(a,b)内满足：

① 当a<x1<x2<b时，有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)内单调递增；

② 当a<x1<x2f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)内单调递减。

若函数在定义域内既有单调递增，又有单调递减，则称该函数在该区间内不单调。

二、函数单调性的判定方法

1. 导数法

函数单调性的判定方法之一是使用导数。如果函数f(x)在区间(a,b)内可导，则：

① 当f'(x)>0时，f(x)在该区间内单调递增；

② 当f'(x)<0时，f(x)在该区间内单调递减。

2. 一阶差分法

函数单调性的判定方法之二是使用一阶差分。如果函数f(x)在区间(a,b)内连续，则：

① 当f(x2)-f(x1)>0时，f(x)在该区间内单调递增；

② 当f(x2)-f(x1)<0时，f(x)在该区间内单调递减。

三、函数极值的概念

函数极值是指函数在某个点上取得最大值或最小值。具体来说，若函数f(x)在x0处取得最大值，则称f(x)在x0处有极大值；若函数f(x)在x0处取得最小值，则称f(x)在x0处有极小值。

四、函数极值的判定方法

1. 导数法

函数极值的判定方法之一是使用导数。如果函数f(x)在x0处可导，则：

① 当f'(x0)=0且f”(x0)<0时，f(x)在x0处有极大值；

② 当f'(x0)=0且f”(x0)>0时，f(x)在x0处有极小值。

2. 二阶差分法

函数极值的判定方法之二是使用二阶差分。如果函数f(x)在x0处连续，则：

① 当f(x2)-2f(x0)+f(x1)<0时，f(x)在x0处有极大值；

② 当f(x2)-2f(x0)+f(x1)>0时，f(x)在x0处有极小值。

五、函数单调性和极值的关系

函数单调性和极值之间存在着一定的关系。具体来说，如果函数f(x)在区间(a,b)内可导，则：

① 当f'(x)=0时，f(x)可能有极值；

② 当f'(x)>0时，f(x)在该区间内单调递增，且可能有极小值；

③ 当f'(x)<0时，f(x)在该区间内单调递减，且可能有极大值。

需要注意的是，函数在极值点处不一定是单调的。例如，y=x3在x=0处有极小值，但在x0时是单调递增的。

六、求函数的单调区间和极值的关系公式

根据函数单调性和极值的判定方法，可以得到以下公式：

1. 导数法

函数单调递增的区间为f'(x)>0的区间，单调递减的区间为f'(x)<0的区间。函数的极大值和极小值点都是函数导数为0的点，即f'(x)=0的点。

2. 一阶差分法

函数单调递增的区间为f(x2)-f(x1)>0的区间，单调递减的区间为f(x2)-f(x1)<0的区间。函数的极大值和极小值点都是函数一阶差分为0的点，即f(x2)-f(x1)=0的点。

3. 二阶差分法

函数的极大值和极小值点都是函数二阶差分为0的点，即f(x2)-2f(x0)+f(x1)=0的点。

七、小结

函数单调性和极值是高中数学中的重要概念。本文介绍了函数单调性和极值的概念、判定方法以及它们之间的关系。同时，本文还给出了求函数的单调区间和极值的关系公式，希望能够帮助学生们更好地掌握这些知识。

在学习函数单调性和极值时，需要多做一些例题，加深对这些概念的理解。同时，需要注意的是，函数的单调性和极值与函数的图像密切相关，因此在学习时需要多画图，直观地感受函数的变化。

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